Hyrje në Logjikën Propozicionale - Operatorë Logjikë dhe Tabela të së Vërtetës

Disa Operatorë Logjikë të Logjikës Propozicionale:

Negacioni ("jo-"): Lidhesi i Mohimit Simbolet: [~] = [¬]
Konjunksioni ("dhe"): Lidhesi i Bashkimit (d.m.th., Lidhja [Propozicionale]) Simbolet: [^] = [&]
Disjunksioni Inkluziv ("ose"): Lidhesi i Shpërndarjes (Gjithëpërfshirës) Simbolet: [V] = [i.or]
Disjunksioni Ekskluziv ("ose"): Lidhesi Shpërndarjes (Përjashtues) Simbolet: [⊕] = [x.or]


Ndryshorja propozicionale X është një shkronjë që qëndron për një fjali (pra: emri). Një fjali e dhënë në shkronjën X është një propozim: d.m.th., një fjali deklarative e aftë të jetë vetëm ‘e vërtetë’ ose ‘e rreme’, jo të dyja, dhe as asnjëra. Ndryshorja logjike propozicionale X i bindet ligjit të bivalencës, i cili thotë se: Një propozim X mund të marrë vetëm një vlerë të së vërtetës (në një kohë) nga dy të mundshmet e mëposhtme: {e vërtetë: (T), e rreme: (F)}.

Ndryshorja propozicionale X është bivalente, domethënë:
[i]. X mund të marrë vetëm një vlerë në të njëjtën kohë,
[ii]. ajo vlerë e vetme është e vërtetë ose e rreme,
[iii]. jo të dyja, dhe jo asnjëra.

Çdo ndryshore propozicionale e dhënë X mund të jetë e vërtetë ose e rreme, duke përjashtuar opsionet "të dyja" dhe "asnjëra" të saj.

Domethënë, ndonjë ndryshore propozicionale X nuk mund të jetë edhe e vërtetë edhe e rreme dhe po ashtu nuk mund të jetë as e vertetë as e rreme.

Vlerësimi : = caktimi i vlerës: d.m.th., caktimi i një vlere me vlerë të së vërtetës për ndryshoren logjike propozicionale 'X', ku 'X' është një shkronjë fjalie, domethënë: një shkronjë që tregon një fjali.

Le V{X} të tregojë sa vijon: [vlera e së vërtetës e X].
Prandaj, ‚V{X} = T‘ tregon: [vlera e së vërtetës e X është "e vërteta" (T).]


Tabelat Karakteristike të së Vërtetës
për Operatorët Logjikë Funksional të së Vërtetës në Vijim (më Poshtë):

• Negacioni/Mohimi: (~)
  – Lidhës i Negacionit/Mohimit
  
  
• Konjunksion/Lidhje Propozicionale: (^)
  – Lidhës i Bashkimit
  
  
• Disjunksion/Shpërndarje [Gjithëpërfshirëse]: (V)
  – Lidhës i Shpërndarjes (Gjithëpërfshirës)
  
  
• Disjunksion/Shpërndarje [Përjashtues]: (⊕)
  – Lidhës i Shpërndarjes (Përjashtues)

Lidhës i Bashkimit (Lidhje Logjike); Simbolet që tregojnë një lidhje logjike: {^ , &}

Ka dy ndryshore të dallueshme, d.m.th., jo identike: {X, Y}, dhe ajo që vlerësohet është lidhja e tyre logjike (operacioni 'dhe'): [X & Y].

Këtu mund të bëhen vetëm katër vlerësime të mundshme. Ekzistojnë 4 ndërrime të vlerave të mundshme të së vërtetës të 2 ndryshoreve të së vërtetës X dhe Y.
Çdo rresht përfaqëson një ndërrim të 2 ndryshoreve të dallueshme {X, Y | X=/=Y}, dhe shprehja rezultante është lidhja e këtyre 2 ndryshoreve: (X ^ Y), për çdo ndërrim të mundshëm të vlerave të vërteta të X dhe Y.

Në tabelën e mëposhtme (Tabela 1), çdo rresht i vlerave të së vërtetës (d.m.th., çdo ndërrim unik i mundshëm) përfaqëson një vlerësim: caktimi i vlerës së së vërtetës në një ndryshoreje e se vërtetes.

Tabela 1 – Tabela e së Vërtetës Karakteristike të Lidhjes e X dhe Y, d.m.th.: [X & Y]
_________________
X Y | X & Y |
--------------------
T T | T |
T F | F |
F T | F |
F F | F |
_________________

Çdo rresht në tabelën e së vërtetës është një vlerësim!

E Vërteta e Domosdoshme (d.m.th., e vërteta logjike):
- (domosdoshmërisht i vërtettë / e vërtetë).

Falsiteti i Domosdoshëm (d.m.th., falsiteti logjik):
- (domosdoshmërisht i rremë / e rreme).

Vërteta Kontingjente:
• X është e vërteta kontingjente
• X është e vërtetë ne mënyrë kontingjente
[d.m.th., X është kontingjentisht e vërtetë]

Falsiteti Kontingjent:
• X është falsiteti kontingjent
• X është e rreme ne mënyrë kontingjente
[d.m.th., X është kontingjentisht e rreme]


E Vërteta Logjike: E Vërteta e Domosdoshme: = Tautologji

Në logjikën propozicionale, një "e vërtetë logjike", e quajtur edhe një "e vërtetë e domosdoshme" quhet "tautologji". Domosdoshmërisht e vërtetë do të thotë: e vërtetë për çdo vlerësim të mundshëm (çdo caktim i mundshëm i vlerës së së vërtetës për ndryshoren e së vërtetës X). Ndryshorja propozim X është domosdoshmërisht i vërtetë (do të thotë se ...): X është e vërtetë në çdo vlerësim të mundshëm.


Falsiteti Logjik: = Falsiteti i Domosdoshëm: = Kundërshtim

Një kundërshtim është një falsitet i domosdoshëm në logjikën propozicionale. Ndryshorja propozicionale funksionale të së vërtetës X nuk ka asnjë vlerë të së vërtetës 'e vërtetë' (T) për ndonjë nga vlerësimet e saj të mundshme.

Gjegjësisht, për çdo rresht vlera e së vërtetës është 'e rreme' (F) duke gjeneruar një kolonë vertikale të ‘F’. Të gjitha rreshtat vlerësojnë për F.
Domosdoshmërisht i rremë:= i rremë për çdo vlerësim të mundshëm.

Çdo falsitet i domosdoshëm mund të ose reduktohet në një kundërshtim ose demonstrohet te jete barasvlershëm me një te tilla.
Ndryshorja propozicionale X është domosdoshmërisht i rremë; d.m.th., X është një falsitet i domosdoshëm. Një falsitet logjik quhet thjesht një “kundërshtim” në logjikën propozicionale.

Anasjelltas, një falsitet i nevojshëm logjik quhet një kundërshtim, sepse në këtë nivel të analizës (në logjikën kallëzuesore të rendit zero, d.m.th., në logjikën propozicionale dhe silogistike) çdo falsitet i domosdoshëm zvogëlohet në një kundërshtim, është i barasvlershëm (ekuivalent) me një kundërshtim (ka vetëm rreshtat e ‘F’).

Një falsitet i domosdoshëm përbën një falsitet për të njëjtën arsye se një kundërshtim është një falsitet i domosdoshëm: është i rremë në çdo vlerësim, d.m.th., është domosdoshmërisht i rremë: nuk ka mundësi që të mos jetë i rremë: është i rremë nën çdo vlerësim të mundshëm.

Çdo shprehje logjike që është një falsitet logjik propozicional është identik me një kundërshtim ose i barasvlershëm me një të tillë [i barabartë në vlerë]. Çdo falsitet logjik mund të reduktohet në një kundërshtim: mund të demonstrohet se arrin në një kundërshtim (d.m.th., se përbën një kundërshtim).

Çdo falsitet logjik mund të demonstrohet të jetë i barasvlershëm me një kundërshtim [d.m.th., barasvlershëm = barabartë ne vlerë]. Çdo falsitet i domosdoshëm në logjikën propozicionale është një falsitet logjik për të njëjtën arsye që një kundërshtim është një falsitet logjik: ai vlerësohet si 'i rremë' për të gjitha vlerësimet e tij të mundshme.


Tabelat Karakteristike të së Vërtetës
Vlerësimi: = caktimi i vlerës së së vërtetës për një ndryshore të së vërtetës.

Për shembull:
Për një propozim, të vetmet dy opsione të mundshme për një vlerë të së vërtetës janë {('i vërtetë / e vërtetë'), ('i rremë / e rreme')}
________________
X Y |X ^ Y|
________________
T T | T |
T F | F |
F T | F |
F F | F |
________________

[Një] e Vërtetë[/a] e Domosdoshme: = [Një] Tautologji[a]
Ku: ‘E Vërtetë[/a]’ = [Një] Emër (gramatikor): d.m.th., pj.fj.:= pjesa e fjalimit.
Emër: (një) kategori që i përket pjesëve të fjalimit të gjuhës.

[Një] Falsitet[i] i Domosdoshëm: = [Një] Kundërshtim[i]
Një shprehje domosdoshmërisht e rreme: d.m.th., e rreme për çdo vlerësim të mundshëm të X.

Kontigjent[i] (pj.fj.: emër): = as (një) e vërteta domosdoshme e as (një) falsitet domosdoshme:
(d.m.th., as domosdoshmërisht i vërtetë, e as domosdoshmërisht i rremë).


Propozimi X është një e vërtetë e domosdoshme <=> Propozimi X është një propozim domosdoshmërisht i vërtetë – (një) tautologji.
Propozimi X është një falsitet i domosdoshëm <=> Propozimi X është një propozim domosdoshmërisht i rremë – (një) kundërshtim.

Kontigjent[i] = as (një) tautologji[a], as (një) kundërshtim[i]
{edhe mund të quhet: Kontingjencë[/a] }.

Propozimi X është një kontigjent (pj.fj.: emër)



Përkufizimi i një propozimi kontingjent (ose formulës):
• as ekskluzivisht i vërtetë e as ekskluzivisht i rremë
• jo krejtësisht i rremë dhe jo krejtësisht i vërtetë.
Jo të gjitha rreshtat kanë vlerën e së vërtetës "e vërtetë: (T)" dhe jo të gjitha rreshtat kanë vlerën e së vërtetës 'e rreme: (F)'. Për një kontingjent, ekzistojnë të paktën një T (i vërtetë) dhe të paktën një F (i rremë) në mesin e rreshtave.

Kontingjent[e] (pj.fj.: mbiemër):
Propozimi X është një propozim kontigjent (pj.fj.: mbiemer)

Kontigjentisht / në mënyrë kontigjente:= as domosdoshmërisht i vërtetë, as domosdoshmërisht i rremë (pj.fj.: ndajfolje).


Nëse X është i rremë:
- X është ose domosdoshmërisht i rremë (të gjitha rreshtat janë ‘F’)
ose
- X është kontingjentisht i rremë (jo të gjitha rreshtat janë ‘F’).

Nëse X është i vërtetë:
- X është ose domosdoshmërisht i vërtetë (të gjitha rreshtat janë ‘T’)
ose
- X është kontingjentisht i vërtetë (jo të gjitha rreshtat janë ‘T’). Ndryshorja propozicionale X është bivalent: d.m.th., ajo i bindet ligji i bivalencës.


Ligji i Bivalencës: = Përkufizimi Logjik i një Propozimi:

• X mund të marrë vetëm një vlerë të së vërtetës (në një kohë),
• Kjo vlerë e vetme është e vërtetë ose e rreme,
• Jo të dy, dhe jo as.

Opsionet "të dyja" dhe "asnjëra" të kontradiktorëve përjashtohen!

Propozimet X dhe ~X nuk mund të jenë as të vërteta së bashku e as të rreme së bashku:

• Propozimi X nuk mund të jetë të dyja i vërtetë dhe i rremë
  dhe
• gjithashtu nuk mund të jetë as i vërtetë as i rremë